互质是什么意思

日期:2024-06-09 热度:964

互质是什么意思

互质是什么意思,什么是互质整数和互质自然数:

两个正整数只有一个公约数1时、它们的关系叫做互质、如3和11互质。

互质是公约数只有1的两个整数,叫做互质整数。公约数只有1的两个自然数,叫做互质自然数,后者是前者的特殊情形。互质,若N个整数的最大公因数是1,则称这N个整数互质。

数学上指两个数或多项式,其最大公因数或公因式为一时,此种情形称为「互质」。

1和任何数都成倍数关系,但和任何数都互质。因为1的因数只有1,而互质数的原则是:只要两数的公因数只有1时,就说两数是互质数。因为1只有一个因数所以1既不是质数(素数),也不是合数,无法再找到1和其他数的别的公因数了。1和-1与所有整数互素,而且它们是唯一与0互素的整数。

互质数的写法:

如c与m互质,则写作(c,m)=1。

小学数学教材对互质数是这样定义的:“公约数只有1的两个数,叫做互质数。”

这里所说的“两个数”是指自然数。

“公约数只有 1”,不能误说成“没有公约数。”

这里有一个误区,认为0不与任何数互质。严格地按照互质的定义来看0与1,-1均互质,通过任意有理数的表示方式a/b(a,b互质且b为正整数),同样可以得出0与1,-1均必须互质,否则0不是有理数。

互质数的判别方法:

(1)两个不同的质数一定是互质数。

例如,2与7、13与19。

(2)一个质数,另一个不为它的倍数,这两个数为互质数。

例如,3与10、5与 26。

(3)1不是质数也不是合数,它和任何一个自然数(1本身除外)在一起都是互质数。如1和9908。

(4)相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。

(5)相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。

(6)较大数是质数的两个数是互质数。如97与88。

(7)两个数都是合数(二数差又较大),较小数所有的质因数,都不是较大数的约数,这两个数是互质数。

如357与715,357=3×7×17,而3、7和17都不是715的约数,这两个数为互质数。

(8)两个数都是合数(二数差较小),这两个数的差的所有质因数都不是较小数的约数,这两个数是互质数。如85和78。85-78=7,7不是78的约数,这两个数是互质数。

(9)两个数都是合数,较大数除以较小数的余数(不为“0”且大于“ 1”)的所有质因数,都不是较小数的约数,这两个数是互质数。如 462与 221

462÷221=2……20,

20=2×2×5。

2、5都不是221的约数,这两个数是互质数。

(10)减除法。如255与182。

255-182=73,观察知 73\u003c82。

182-(73×2)=36,显然 36\u003c73。

73-(36×2)=1,

(255,182)=1。

所以这两个数是互质数。

三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况:一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、5。另一种不是两两互质的。如6、8、9。

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